de Rham cohomology の入口いりぐち

date2026-04-23descriptionde Rham cohomology を、closed form と exact form の差から空間の穴を検出する入口として整理する。prerequisites微分形式と外微分 / 一般Stokes定理とベクトル解析辞書type講義statusactive

mathdifferential-formscohomologylecture

導入どうにゅう

このページの核心かくしんは、微分形式びぶんけいしきの閉とじている条件じょうけんと完全かんぜんである条件じょうけんの差さから、空間くうかんの穴あなを検出けんしゅつすることである。

用語ようごと定義ていぎ

closed formClosed form は、 $d ω = 0$ を満みたす形式けいしきである。

exact formExact form は、ある形式けいしき $η$ により $ω = d η$ と書かける形式けいしきである。

方針ほうしん

$d^{2} = 0$ により、exact form は必かならず closed form である。逆ぎゃくが常つねに成立せいりつするとは限かぎらない。その失敗しっぱいを測はかる対象たいしょうが de Rham cohomology である。

局所きょくしょでは、closed form は原始関数げんしかんすうを持もつことが多おおい。しかし大域たいいきでは、穴あなを一周いっしゅうする積分せきぶんが残のこる場合ばあいがある。de Rham cohomology は、この局所きょくしょと大域たいいきの差さを形式けいしきの言語げんごで記録きろくする。

punctured plane の例れい

$R^{2} ∖ {0}$ で

ω = \frac{- y d x + x d y}{x^{2} + y^{2}}

を考かんがえる。この 1 形式けいしきは原点げんてんを除のぞいた領域りょういきで closed である。しかし単位円たんいえん $γ (t) = (\cos t, \sin t)$ に沿そって積分せきぶんすると

\int_{γ} ω = 2 π

である。もし $ω = d η$ と書かけるなら、閉曲線へいきょくせんに沿そう積分せきぶんは 0 になるはずである。したがって $ω$ は exact ではない。

閉とじていることは、直接計算ちょくせつけいさんでも確認かくにんできる。 $ω = P d x + Q d y$ とおくと、

P = \frac{- y}{x^{2} + y^{2}}, Q = \frac{x}{x^{2} + y^{2}}

であり、原点げんてんを除のぞく領域りょういきで $Q_{x} - P_{y} = 0$ となる。したがって $d ω = 0$ である。それにもかかわらず単位円たんいえんの積分せきぶんが $2 π$ であるため、exact ではない。

$S^{1}$ の直感ちょっかん

円えん $S^{1}$ には一周いっしゅうする穴あなの情報じょうほうがある。closed form は局所的きょくしょてきには微分びぶんとして表現ひょうげんできるが、一周いっしゅうしたときの積分せきぶんが残のこると大域的たいいきてきな原始関数げんしかんすうは存在そんざいしない。この差さが $H^{1}$ の直感ちょっかんである。

$S^{1}$ では、一周いっしゅうする向むきに沿そう 1 形式けいしきの積分せきぶんが基本的きほんてきな不変量ふへんりょうになる。穴あながなければ閉曲線へいきょくせんは面めんの境界きょうかいとして縮ちぢめられ、Stokes 定理ていりにより closed form の積分せきぶんは 0 になる。穴あながあるため、この縮約しゅくやくが妨さまたげられる。

直感的ちょっかんてきな説明せつめい

穴あなのない領域りょういきでは、局所的きょくしょてきな循環じゅんかんが 0 なら大域的たいいきてきなポテンシャルを期待きたいできる。穴あなのある領域りょういきでは、局所的きょくしょてきに curl が 0 であっても閉曲線へいきょくせんに沿そう積分せきぶんが 0 にならない場合ばあいがある。

反例はんれいとしての全平面ぜんへいめん

$R^{2}$ 全体ぜんたいでは、原点げんてんを囲かこむ円えんも円板えんばんの境界きょうかいである。滑なめらかな closed 1 形式けいしきを円えんに積分せきぶんすると、Stokes 定理ていりにより円板えんばんでの $d ω$ の積分せきぶんになり、0 である。punctured plane では原点げんてんが欠落けつらくしているため、その円板えんばんを領域内りょういきないに取とれない。この差さが位相いそうの情報じょうほうである。

広ひろげすぎない範囲はんい

このページでは群ぐんや層そうの一般論いっぱんろんへは進行しんこうしない。入口いりぐちとして必要ひつようなのは、closed と exact の差さが空間くうかんの穴あなを検出けんしゅつする、という一点いってんである。具体例ぐたいれいを基準きじゅんにしてから、必要ひつように応おうじて抽象化ちゅうしょうかへ進行しんこうする。